Básicamente, ese operador es el bitwise not, y saltándonos los detalles técnicos, simplemente decir que lo podemos utilizar para comprobar si un valor numérico es diferente de -1, así que he aquí algunos ejemplos que son equivalentes:

let a = "hola";
if (a.indexOf("h") !== -1) {
    // true
}

// Esto sería equivalente
if (~a.indexOf("h")) {
    // true
}